4次元の理解

id:enmotakenawa:20051006:p1で収束した4次元の話について。
ここで語られる4次元はどうみてもオカルティックな理解と言うか、直感/妄想のそれに思えるので、それに真面目な解説を加えても意味ないような気もするが、数学的な4次元を理解したいという向きのために少々解説を。
私はこの道の専門ではないので、多少の勘違いを含む可能性は否定しないが、大筋では間違っていない筈である。


4次元は良く「三次元+時間」などと表される。本当に+1次元が時間なのかどうかは兎も角、これを2次元→3次元と対比させると理解し易い。
2次元平面から3次元の立体を見ると、それは「2次元平面と重なった部分の断面」としてしか、内部からは認識できない。例えば球体が平面を通り抜けるとすれば、内部からは「Z軸方向の推移と共に大きくなり、また収縮して消えて行く円」として認識される。Z軸方向、つまり高さは2次元には認識可能な形では存在しないが、それを3次元の何かに置き換えるとすれば恐らくは時間なのだろう。
同様に、三次元空間を4次元的な球体が通り抜けるとき、それは我々の目には「時間と共に大きくなり、また収縮して消えて行く球」として認識されることになる。


別方面からのイメージを少し。
3次元立体である立方体は、展開すれば6つの正方形からなる2次元平面になる。
2次元平面である正方形は、展開すれば4つの線分からなる1次元直線となる。
では逆に、4次元的な立方体はどんなものだろうか。4角=1次元×4、6面体=2次元×6であるから、当然4次元立体=3次元×8と考えるのが妥当だろう。
立方体の展開図は概ね十字架のような形状となるが、あれを立方体で作る事を考えられたい。ただし、高さ方向にもそれぞれ立方体を付けた形で。それが4次元立体を展開して3次元化した物体である。すると4次元立体は、それを「折り畳んで」一つの箱に組み上げたものとなるが……これ以上はイメージの限界だろう。


そこで下記のページを紹介したい。これは、4次元的な立体を回転させ3次元に投影したもので、動く二つの図形を裸眼立体視にて重ね合わせる事で、感覚的に4次元というものが理解できる(という気になる)代物である。
http://haikoujou.s1.xrea.com/index.php?project%2F4d
お試しあれ。
ページが消えてしまったようなのでWeb Archiveから引っ張り出した